Beispiel zum Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz: Temperatur der Erde

Die Sonne sei ein perfekter schwarzer Strahler mit dem Radius r_S = 6,95 · 108 m, der Oberflächentemperatur von T_S = 5800 K und dem mittleren Abstand Sonne-Erde von d_S-E = 1,496·10¹¹ m. Berechnet werden sollen im folgenden

die mittlere Leistungsdichte (in W/m²) der Sonnenstrahlung im Abstand d_S-E von der Sonne sowie
die Temperatur der Erde unter der Annahme, die Erde wäre ein perfekter schwarzer Körper und würde nur durch die Sonne geheizt.

Mittlere Leistungsdichte der Sonnenstrahlung

Da die Sonne als perfekter schwarzer Strahler angenommen werden soll, ist der Emissionskoeffizient $\epsilon \equiv 1$ . Mit dem Strahlungsgesetz von Stefan und Boltzmann $P = \sigma \epsilon A_S T^4$ , der strahlenden Sonnenfläche $A_S = 4 \pi r_S^2$ und dem Raumwinkel $\Omega = 4\pi = \frac{A}{d_{S-E}^2}$ folgt für die mittlere Leistungsdichte:

$\left<\varrho\right>P = \frac{P}{A} = \frac{\sigma \epsilon A_S T^4}{A} = \frac{\sigma 4 \pi r_S^2 T^4}{4\pi d{S-E}^2}= \frac{\sigma r_S^2 T^4}{d_{S-E}^2}\simeq \boldsymbol{1385\phe{\frac{W}{m^2}}}$

mit $\sigma = 5,670 \cdot 10^{-8}\phe{\frac{W}{m^2 K^4}}$ .

Temperatur der Erde

Wäre die Erde ein perfekter schwarzer Körper und würde nur von der Sonne geheizt, so würde die im vorherigen Abschnitt bestimmte Leistung zur Aufheizung der Erde beitragen. Die Fläche der Erde, projiziert auf die Ebene, beträgt $A_E = \pi r_E^2$ ; die Kugeloberfläche der Erde $A_{E_K} = 4\pi r_E^2$ . Die Sonnenstrahlung trifft auf die Erde, so dass für die Leistung gilt: $P = \left<\varrho\right>P A_E$ . Gleichsetzen mit dem Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz führt zu ( $\epsilon \equiv 1$ )

$P = \left<\varrho\right>_P A_E = \sigma \epsilon A{E_K} T^4\LongrightarrowT = \sqrt[4]{\frac{\left<\varrho\right>_P \pi r_E^2}{4\pi r_E^2 \sigma}}= \sqrt[4]{\frac{\left<\varrho\right>_P}{4 \sigma}}\simeq 280 \phe{K}\simeq \boldsymbol{7 \phe{^o C}}$