Beispiel zur Fata Morgana

In der folgenden Betrachtung soll das folgende Beispiel zur Fata Morgana berechnet werden. Der Brechungsindex in Luft möge senkrecht nach oben um 0,01 % pro Meter kontinuierlich abnehmen. In welcher Höhe wird ein Lichtstrahl total reflektiert (Winkel mit der Horizontalen = 0), wenn er ursprünglich einen Winkel von 45° mit der Horizontalen bildet? Die Erdkrümmung soll dabei nicht berücksichtigt werden.

Die Änderung des Brechungsindex n um $\beta = 0,01\phe{\%/m}$ , wenn man sich um ein Strecke $\Delta z$ nach oben bewegt, beträgt:

$n(\Delta z) = n_0 \left(1 - \beta \Delta z\right)$

Daraus folgt mit dem Brechungsgesetz $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ :

$\frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_1 + \Delta \alpha)} = \frac{n(\Delta z)}{n_0} = \left(1 - \beta \Delta z\right) \Rightarrow \sin(\alpha_1 + \Delta\alpha') = \frac{\sin(\alpha_1)}{1 - \beta \Delta z}$

Bewegt man sich nun um ein weiteres $\Delta z$ nach oben, so erhält man

$\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha' + \Delta\alpha'') = \frac{\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha')}{1 - \beta \Delta z} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\left(1 - \beta \Delta z\right)^2}$

Bei rekursiver Anwendung bis $\sin(\alpha_1 + \Delta\alpha' + \Delta\alpha'' + \dots) = \sin(\alpha_2)$ erhält man:

$\sin\alpha_2 = \frac{\sin\alpha_1}{\left(1 - \beta \Delta z\right)^{h/\Delta z}}$

Mit $\sin\alpha_2 = \sin(\pi/2) = 1$ und $\sin\alpha_1 = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ folgt:

$\sqrt{2}\left(1 - \beta \Delta z\right)^{h/\Delta z} = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{2}\frac{\ln(2)\Delta z}{\ln(1 - \beta \Delta z)}$

Verkleinert man $\Delta z$ , bildet also den Grenzprozeß $\Delta z \to 0$ , so erhält man:

$h = \lim_{\Delta z \to 0} -\frac{1}{2}\frac{\ln(2)\Delta z}{\ln(1 - \beta \Delta z)} \approx \mathbf{3465,7\phe{m}}$

Dabei kann man den Grenzwert z. B. über Interpolation erhalten:

$\begin{align*} \Delta z_1 & = -0,1\phe{m} & \Rightarrow h(\Delta z_1) & \approx 3465,75\phe{m} \\ \Delta z_2 & = 0,1\phe{m} & \Rightarrow h(\Delta z_2) & \approx 3465,72\phe{m} \\ &&\Rightarrow h(\Delta z=0) & = \frac{3465,75\phe{m} + 3465,72\phe{m}}{2} \approx 3465,7\phe{m} \end{align*}$