Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten

Aus der Kraftgleichung für Fluidelemente soll nachfolgend die Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten im stationären Zustand entwickelt werden.

Die Kraftgleichung für ein Fluidelement ist im stoßfreien Fall gegeben durch

$mn\left[\PDif{\Vec{u}}{t}+ \left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right)\Vec{u}\right]= qn\left(\Vec{E} + \Vec{u} \times \Vec{B}\right) - \Nabla p$

mit der Masse $m$ eines Fluidelements, der Teilchendichte $n$ und der Geschwindigkeit $\Vec{u}$ der Fluidelemente, dem Druck $p$ und den elektrischen $\Vec{E}$ und magnetischem $\Vec{B}$ Feldern, $q$ bezeichnet die Ladung.

Im stationären Zustand bleibt die Geschwindigkeit konstant, d. h. es gilt $\PDif{\Vec{u}}{t} = 0$ . Da eine nicht-kompressible Flüssigkeit betrachtet werden soll, bedeutet dies, das die Flüssigkeit feldfrei ist, also $\Vec{E} = 0$ und $\Vec{B} = 0$ . Damit folgt für die Kraftgleichung:

$\begin{align*}&& mn\left[\PDif{\Vec{u}}{t} + \left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right)\Vec{u}\right]& = qn\left(\Vec{E} + \Vec{u} \times \Vec{B}\right) - \Nabla p \\\Rightarrow\quad && mn\left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right) \Vec{u} & = -\Nabla p\end{align*}$

Betrachte die $i$ -te Komponente:

$\begin{align*}&& mn\left(u_i \cdot \PDif{}{x_i}\right) u_i & = -\PDif{p}{x_i} \\& \Leftrightarrow\quad &mnu_i\PDif{u_i}{x_i} & = -\PDif{p}{x_i} \\& \Leftrightarrow\quad &mnu_i\pdif{u_i} & = -\pdif{p} \\\intertext{Integration liefert}&& \int mn u_i \pdif{u_i} & = - \int \pdif{p}\\& \Leftrightarrow\quad &\frac{1}{2}mnu_i^2 & = -p + C\end{align*}$

mit der Integrationskonstanten $C$ . Anwenden auf alle Komponenten liefert

$\begin{displaymath}\frac{1}{2} mn\sum_{i=1}^{3} u_i^2 = -p + C\end{displaymath}$

und somit die Bernoulli-Gleichung

$\begin{displaymath}\frac{1}{2} mnu^2 + p = C = \text{const}\end{displaymath}$

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der Vektoridentität:

$\Vec{A} \times (\Nabla \times \Vec{B})= \Nabla(\Vec{A} \cdot \Vec{B}) - (\Vec{A} \cdot \Nabla)\Vec{B}- (\Vec{B} \cdot \Nabla)\Vec{A} - \Vec{B} \times (\Nabla \times \Vec{A})$

Mit $\Vec{A},\Vec{B} \equiv \Vec{u}$ folgt:

$2 (\Vec{u} \cdot \Nabla)\Vec{u}= \Nabla(\Vec{u} \cdot \Vec{u})= \Nabla u^2$

Einsetzen in $mn\left(\Vec{u} \cdot \Nabla\right) \Vec{u} = -\Nabla p$ liefert:

$\begin{align*}\frac{1}{2} mn \Nabla u^2 = -\Nabla p& \quad\Rightarrow\quad\Nabla\left(\frac{1}{2} m n u^2 + p\right) = 0 \\& \quad\Rightarrow\quad\frac{1}{2} m n u^2 + p = \text{const}\end{align*}$