Aus der Kraftgleichung für Fluidelemente soll nachfolgend die Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten im stationären Zustand entwickelt werden.
Die Kraftgleichung für ein Fluidelement ist im stoßfreien Fall gegeben durch
mit der Masse eines Fluidelements, der Teilchendichte und der Geschwindigkeit der Fluidelemente, dem Druck und den elektrischen und magnetischem Feldern, bezeichnet die Ladung.
Im stationären Zustand bleibt die Geschwindigkeit konstant, d. h. es gilt . Da eine nicht-kompressible Flüssigkeit betrachtet werden soll, bedeutet dies, das die Flüssigkeit feldfrei ist, also und . Damit folgt für die Kraftgleichung:
Betrachte die -te Komponente:
mit der Integrationskonstanten . Anwenden auf alle Komponenten liefert
und somit die Bernoulli-Gleichung
Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der Vektoridentität:
Mit folgt:
Einsetzen in liefert: