Nachfolgend soll die Bewegungsgleichung sowie die Dispersionsrelation für die transversale Schwingung eines ebenen quadratisches Gitters aus identischen Atomen hergeleitet werden.
Betrachtet sei ein ebenes quadratisches Gitter aus identischen Atomen mit der Masse , wobei
die Auslenkung des Atoms in der Spalte
und der Reihe
senkrecht zur Gitterebene bezeichnet. Die Kraftkonstante zwischen zwei Atomen, die sich in unmittelbarer Nachbarschaft befinden, sei mit
bezeichnet und Wechselwirkungen zu entfernten Nachbarn werden vernachlässigt.
Bewegungsgleichung
Anschaulich ist klar, dass bei einer Auslenkung senkrecht zur s-r-Ebene sowohl die nächsten Nachbarn ( bzw.
) innerhalb einer Reihe als auch diejenigen innerhalb einer Spalte zu einer rückstellenden Kraft führen. Damit erhält man für die Kraft entlang einer Reihe die Beziehung:
und für die Kraft entlang einer Spalte
Für die Gesamtkraft gilt

Insgesamt erhält man somit für die transversalen Schwingung eines ebenen quadratischen Gitters die Bewegungsgleichung
Dispersionsrelation
Setzt man für die Bewegungsgleichung eine Lösung der Form
an, wobei

Mit


und somit für die Dispersionsrelation
Im Grenzfall kann die Kleinwinkelnäherung für den Sinus verwendet werden (
für
). Mit
erhält man die Dispersionsrelation
In diesem Grenzfall ist die Phasengeschwindigkeit () konstant.