Als Schwingung (Oszillation) bezeichnet man den zeitlichen Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System aufgrund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht wird und über eine rücktreibende Kraft wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. Dabei wird eine Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen durchgeführt. Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung wird angenommen, dass keine Energieverluste stattfinden und stellt einen idealisierten Fall dar. Werden Energieverluste z. B. durch Reibung berücksichtigt, bezeichnet man dieses System als gedämpfte Schwingung. Wird das schwingende System durch ein äußeres System angetrieben, d. h. eine periodische Kraft von außen auf das schwingende System ausgeübt, wird dies als erzwungene gedämpfte Schwingung bezeichnet. Im Folgenden sollen diese drei Systeme etwas näher betrachtet werden.
Ungedämpfte harmonische Schwingung
Für den idealisierten Fall punktförmiger Massen kann diese für eine Feder durch die Differentialgleichung (DGL)
mit der Rückstellkonstanten der Feder D, der Masse m und der Auslengung x beschrieben werden. Eine Lösung dieser DGL ist die Gleichung
mit , der Amplitude
und der Phasenverschiebung
.
Gedämpfte Schwingung
Wird die Dämpfung (Energieverlust durch Reibung, etc.), die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt, mit einbezogen, lässt sich die Schwingung durch die DGL
mit einem Dämpfungsfaktor b beschreiben. Mit und
folgt die allgemeine Bewegungsgleichung
mit der Dämpfungskonstanten . Diese DGL lässt sich mit einem Exponentialansatz lösen und man erhält:
mit . Erkennbar ist, dass drei Fälle auftreten können:
imaginär (
): schwache Dämpfung, die Amplitude klingt exponentiell ab;
reell (
): starke Dämpfung, die Schwingung besteht nur aus einer einzigen Auslenkung, die für
langsam gegen Null strebt (Kriechfall)
(
): aperiodischer Grenzfall, ebenfalls nur eine Auslenkung, wobei jedoch der Nullpunkt am schnellsten wieder erreicht wird.
Anzumerken ist noch, dass die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung bei gleicher Rückstellkraft kleiner als die der ungedämpften Schwingung ist – mit steigener Dämpfung wächst auch die Frequenzverschiebung. Die zwei direkt aufeinanderfolgenden Maxima der gedämpften Schwingung haben das Amplitudenverhältnis
mit . Als logarithmisches Dekrement
wird
bezeichnet.
Erzwungene gedämpfte Schwingung
Wird auf ein schwingungsfähiges System eine periodisch wirkende Kraft ausgeübt, so erhält man für die Bewegungsgleichung
Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL hat dann die Form
wobei die Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwingung ist. Der erste Term beschreibt die Einschwingzeit (für
) und kann für genügend lange Zeiten vernachlässigt werden. Der zweite Term beschreibt den stationären Schwingungszustand (
). Im stationären Zustand erhält man für die Amplitude
und für die Phasenverschiebung
Die Phasenverscheibung einer erzwungenen Schwingung mit wächst für
von 0 bis
und für
von
bis
, d. h., die erzwungene Schwingung läuft der Erregerschwingung hinterher.
Für das Maximum der Amplitude erhält man
und entspricht nicht genau der Resonanzfrequenz des frei gedämpften Oszillators. Die Halbwertsbreite der Resonanzkurve, d. h. die Differenz der beiden Frequenzen
, an denen die Amplitude auf den halben Wert der maximalen Amplitude abgesunken ist, lässt sich aus den obigen Gleichungen ausdrücken über
und kann für angenähert werden zu
Externe Links
- Der Pohlsche Resonator Praktikumsbeschreibung der Georg-August-Universität Göttingen