In dieser kurzen Betrachtung soll der Energieeigenwert aus der Schrödingergleichung des Grundzustandes des Wasserstoffatoms (1s-Zustand) ermittelt werden. Weiterhin wird die Wahrscheinlichkeit bestimmt, das Elektron innerhalb einer Kugel mit Radius ρ um den Kern zu finden.
Ermittlung des Energieeigenwerts
Die Wellenfunktion im Wasserstoffatom ist gegeben über
und die Schrödingergleichung
Für die potentielle Energie des Elektrons im Feld des Kerns gilt
Da das Potential nur vom Radius abhängt und nicht von den Winkel vereinfacht sich der Laplace-Operator zu
Anwenden des Laplace-Operators auf den von abhängigen Teil der Wellenfunktion
, also auf den Term
, liefert:
Der nicht von abhängige Teil kann vor den Operator gezogen werden (Konstanten) und man erhält für die Anwendung des Laplace-Operators auf die Wellenfunktion
:
Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert:
und für die Energie erhält man:
Mit und
erhält man:
Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer Kugel mit Radius ρ zu finden
Das differenzielle Volumenelement in Kugelkoordinaten ist
Für die Wahrscheinlichkeit P erhält man
Das Integral kann durch zweifache partielle Integration gelöst werden, wobei zunächst nach abgeleitet und nach
integriert wird:
Bei der zweiten partiellen Integration wird nach abgeleitet und
integriert:
und man erhält für die Wahrscheinlichkeit P, das Elektron in einer Kugel mit Radius ρ zu finden: