Im Modell unabhängiger Teilchen erfolgt die Beschreibung jedes Elektrons durch eine Bahn-Wellenfunktion . Die zugehörige räumliche Ladungsdichteverteilung ist durch
gegeben. In dieser kurzen Betrachtung soll am Beispiel der L-Schale (n = 2) gezeigt werden, dass bei voller Besetzung der Elektronenschale, d. h. eine Besetzung mit 2n2 Elektronen, die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist.
Die Bahn-Wellenfunktionen für die L-Schale sind in der nachfolgenden Tabelle wiedergegeben:
n | l | m | ![]() |
2 | 0 | 0 | ![]() |
2 | 1 | 0 | ![]() |
2 | 1 | ±1 | ![]() |
Zu zeigen ist, das die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist, d. h.
darf dann keine winkelabhängigen Anteile enthalten und nur noch vom radialen Abstand abhängen (
). Da über alle zugelassenen Werte von
und
summiert werden muß, ist die räumliche Ladungsdichteverteilung gegeben über:
Zunächst werden die einzelnen Betragsquadrate bestimmt:
und
sind identisch und es folgt für die Ladungsdichteverteilung:
Die so erhaltene Ladungsdichteverteilung enthält nur noch den radialen Anteil, die winkelabhängigen Anteile sind herausgefallen.