Ladungsdichteverteilung in vollbesetzten Elektronenschalen

Im Modell unabhängiger Teilchen erfolgt die Beschreibung jedes Elektrons durch eine Bahn-Wellenfunktion $\psi_{n,l,m}$ . Die zugehörige räumliche Ladungsdichteverteilung ist durch $\varrho(r,\vartheta,\varphi) = e\left|\psi_{n,l,m}\right|^2$ gegeben. In dieser kurzen Betrachtung soll am Beispiel der L-Schale (n = 2) gezeigt werden, dass bei voller Besetzung der Elektronenschale, d. h. eine Besetzung mit 2n² Elektronen, die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist.

Die Bahn-Wellenfunktionen $\psi_{n,l,m}$ für die L-Schale sind in der nachfolgenden Tabelle wiedergegeben:

\boldsymbol{\psi_{n,l,m}(r,\vartheta,\varphi)}

\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(2 - \frac{Z r}{a_0}\right) \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\}

n	l	m	$\boldsymbol{\psi_{n,l,m}(r,\vartheta,\varphi)}$
2	0	0	$\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(2 - \frac{Z r}{a_0}\right) \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\}$
2	1	0	$\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z r}{a_0} \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\} \cos\vartheta$
2	1	±1	$\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Zr}{a_0} \exp\left\{-\frac{Zr}{2a_0}\right\}\sin\vartheta \exp\left\{\pm i\varphi\right\}$

Zu zeigen ist, das die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung $\varrho$ kugelsymmetrisch ist, d. h. $\varrho$ darf dann keine winkelabhängigen Anteile enthalten und nur noch vom radialen Abstand abhängen ( $\varrho = \varrho(r)$ ). Da über alle zugelassenen Werte von $l$ und $m$ summiert werden muß, ist die räumliche Ladungsdichteverteilung gegeben über:

$\begin{displaymath}\varrho(r,\vartheta,\varphi)= e\left[\labs{\psi_{2,0,0}}^2+ \labs{\psi_{2,1,0}}^2+ \labs{\psi_{2,1,-1}}^2+ \labs{\psi_{2,1,+1}}^2\right]\end{displaymath}$

Zunächst werden die einzelnen Betragsquadrate bestimmt:

$\begin{align*}\labs{\psi_{2,0,0}}^2& = \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \\\labs{\psi_{2,1,0}}^2& = \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\cos^2\vartheta \\\labs{\psi_{2,1,-1}}^2& = \frac{1}{64\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\sin^2\vartheta\;\underbrace{\exp\left\{-i\varphi\right\} \exp\left\{+i\varphi\right\}}_{=1} \\\labs{\psi_{2,1,+1}}^2& = \frac{1}{64\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\sin^2\vartheta\;\underbrace{\exp\left\{+i\varphi\right\} \exp\left\{-i\varphi\right\}}_{=1} \\\end{align*}$

$\labs{\psi_{2,1,-1}}^2$ und $\labs{\psi_{2,1,+1}}^2$ sind identisch und es folgt für die Ladungsdichteverteilung:

$\begin{align*}\varrho(r,\vartheta,\varphi)& = e\left[\labs{\psi_{2,0,0}}^2+ \labs{\psi_{2,1,0}}^2+ 2\labs{\psi_{2,1,\pm1}}^2\right] \\& = e\Big[\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)^2 \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}+ \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\underbrace{\left(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta\right)}_{=1}\Big] \\& = e\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\left[\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)^2 \frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right] \\& = e\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\left[2\left(2-2\frac{Zr}{a_0}+\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right)\right] \\& = e\frac{1}{16\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\left[2-2\frac{Zr}{a_0}+\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right]\end{align*}$