Linienspektrum des Helium-Ions

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  • Beitrag zuletzt geändert am:14.11.2021
  • Beitrags-Kategorie:Physik

Im Spektrum von ionisiertem Helium (Z = 2e) findet man eine Serie von Spektrallinien, bei der jede zweite Linie nahezu exakt mit einer Balmer-Linie des atomaren Wasserstoffs zusammenfällt, während die anderen dazwischen liegen.

Diese Serie kommt zustande, indem das angeregte Elektron von einer Schale m \geq 5 auf die 4. Schale zurückfällt. Mit der Gleichung

    \[\nu = R Z^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)\]

können die entsprechenden Frequenzen bzw. über \lambda = \frac{c_0}{\nu} die Wellenlängen bestimmt werden.

Dass diese nicht exakt zusammenfallen liegt darin begründet, weil die Rydberg-Frequenz R bzw. Rydberg-Konstante R_\infty nicht berücksichtigt, dass bei endlicher Masse des Atomkerns eine gemeinsame Bewegung von Kern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt vollzogen wird. Die Korrektur hierfür läßt sich über die Beziehung

    \[R' = R_\infty \frac{\mu}{m_e}\]

ausdrücken, wobei \mu die reduzierte Masse \mu = \frac{m_K m_e}{m_K + m_e} bezeichnet. Für Wasserstoff und Helium erhält man:

    \begin{align*}R_H & = R_\infty \frac{\mu}{m_e}&& = R_\infty \frac{m_P}{m_e + m_P}&& = R_\infty \cdot 0,99946&& = 109678\phe{cm^{-1}} \\R_{He^+}& = R_\infty \frac{\mu}{m_e}&& = R_\infty \frac{4 m_p}{m_e + 4 m_P}&& = R_\infty \cdot 0,99986&& = 109722\phe{cm^{-1}}\end{align*}

wobei m_P \simeq m_N, m_e = 9,109 \cdot 10^{-31}\phe{kg}, m_P = 1,673 \cdot 10^{-27}\phe{kg} und R_\infty = 109737\phe{cm^{-1}} verwendet wurde.

Für die Wellenlängendifferenz zwischen der H_\alpha-Linie (n = 3 \rightarrow n' = 2) des atomaren Wasserstoffs und der am nächsten liegenden \mathrm{He}^+-Linie erhält man somit

    \begin{align*}\tilde{\nu}_{H_\alpha}& = 109678\phe{cm^{-1}} \cdot\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)= 15232,9\phe{cm^{-1}}& \Rightarrow && \nu_{H_\alpha} & = 656,47\phe{nm}\\\tilde{\nu}_{He^+}& = 109722\phe{cm^{-1}} \cdot\left(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2}\right)= 15239,2\phe{cm^{-1}}& \Rightarrow && \nu_{He^+} & = 656,20\phe{nm}\\\Rightarrow \Delta\nu& = \nu_{He^+} - \nu_{H}= \boldsymbol{0,27\phe{nm}}\end{align*}

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