Linienspektrum des Helium-Ions

Im Spektrum von ionisiertem Helium (Z = 2e) findet man eine Serie von Spektrallinien, bei der jede zweite Linie nahezu exakt mit einer Balmer-Linie des atomaren Wasserstoffs zusammenfällt, während die anderen dazwischen liegen.

Diese Serie kommt zustande, indem das angeregte Elektron von einer Schale $m \geq 5$ auf die 4. Schale zurückfällt. Mit der Gleichung

$\nu = R Z^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)$

können die entsprechenden Frequenzen bzw. über $\lambda = \frac{c_0}{\nu}$ die Wellenlängen bestimmt werden.

Dass diese nicht exakt zusammenfallen liegt darin begründet, weil die Rydberg-Frequenz $R$ bzw. Rydberg-Konstante $R_\infty$ nicht berücksichtigt, dass bei endlicher Masse des Atomkerns eine gemeinsame Bewegung von Kern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt vollzogen wird. Die Korrektur hierfür läßt sich über die Beziehung

$R' = R_\infty \frac{\mu}{m_e}$

ausdrücken, wobei $\mu$ die reduzierte Masse $\mu = \frac{m_K m_e}{m_K + m_e}$ bezeichnet. Für Wasserstoff und Helium erhält man:

$\begin{align*}R_H & = R_\infty \frac{\mu}{m_e}&& = R_\infty \frac{m_P}{m_e + m_P}&& = R_\infty \cdot 0,99946&& = 109678\phe{cm^{-1}} \\R_{He^+}& = R_\infty \frac{\mu}{m_e}&& = R_\infty \frac{4 m_p}{m_e + 4 m_P}&& = R_\infty \cdot 0,99986&& = 109722\phe{cm^{-1}}\end{align*}$

wobei $m_P \simeq m_N$ , $m_e = 9,109 \cdot 10^{-31}\phe{kg}$ , $m_P = 1,673 \cdot 10^{-27}\phe{kg}$ und $R_\infty = 109737\phe{cm^{-1}}$ verwendet wurde.

Für die Wellenlängendifferenz zwischen der $H_\alpha$ -Linie ( $n = 3 \rightarrow n' = 2$ ) des atomaren Wasserstoffs und der am nächsten liegenden $\mathrm{He}^+$ -Linie erhält man somit

$\begin{align*}\tilde{\nu}_{H_\alpha}& = 109678\phe{cm^{-1}} \cdot\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)= 15232,9\phe{cm^{-1}}& \Rightarrow && \nu_{H_\alpha} & = 656,47\phe{nm}\\\tilde{\nu}_{He^+}& = 109722\phe{cm^{-1}} \cdot\left(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2}\right)= 15239,2\phe{cm^{-1}}& \Rightarrow && \nu_{He^+} & = 656,20\phe{nm}\\\Rightarrow \Delta\nu& = \nu_{He^+} - \nu_{H}= \boldsymbol{0,27\phe{nm}}\end{align*}$