Strukturfaktor für das fcc-Gitter

In dieser kurzen Betrachtung soll der Strukturfaktor für das fcc-Gitter berechnet werden.

Die Basisvektoren für das fcc-Gitter sind gegeben über

$\vec{r}_1 = \left(0,0,0\right)\quad,\quad\vec{r}_2 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\quad,\quad\vec{r}_3 = \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad\text{\textsf{und}}\quad\vec{r}_4 = \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$

die über $r_i = u_i\vec{a}_1 + v_i\vec{a}_2+w_i\vec{a}_3$ mit den primitiven Gittervektoren zusammenhängen. Der Strukturfaktor S lässt sich über die Beziehung

$S = \sum_{i} f_i \exp\left\{i\Vec{G}\cdot\vec{r}_i\right\}$

bestimmen, wobei $f_i$ den Atomformfaktor und $\Vec{G}$ den reziproken Gittervektor bezeichnet. Für den reziproken Gittervektor gilt

$\Vec{G} = h\Vec{A}_1 + k\Vec{A}_2 + l\Vec{A}_3$

mit den Millerschen Indizes $(hkl)$ . Für die Beziehung zwischen den primitiven und reziproken Gittervektoren gilt $\Vec{A}_i \cdot \vec{a}_i = 2\pi$ . Enthält das fcc-Gitter nur eine Atomsorte, so ist der Atomformfaktor identisch ( $\forall i: f_i \equiv f$ ) und man erhält für den Strukturfaktor:

$\begin{align*}S & = f \left[\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot 0 \Vec{a}_1 + k\Vec{A}_2 \cdot 0 \Vec{a}_2 + l\Vec{A}_3 \cdot 0 \Vec{a}_3\right)\right\}+\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot \frac{\Vec{a}_1}{2} + k\Vec{A}_2 \cdot \frac{\Vec{a}_2}{2} + l\Vec{A}_3 \cdot 0 \Vec{a}_3\right)\right\}\right.\\& \quad\left.+\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot 0 \Vec{a}_1 + k\Vec{A}_2 \cdot \frac{\Vec{a}_2}{2} + l\Vec{A}_3 \cdot \frac{\Vec{a}_3}{2}\right)\right\}+\exp\left\{i\left(h\Vec{A}_1 \cdot \frac{\Vec{a}_1}{2} + k\Vec{A}_2 \cdot 0 \Vec{a}_2 + l\Vec{A}_3 \cdot \frac{\Vec{a}_3}{2}\right)\right\}\right] \\& = f \left[1 + \exp\left\{\pi i(h + k)\right\} + \exp\left\{\pi i(k + l)\right\} + \exp\left\{\pi i(h + l)\right\}\right] \\& = \begin{cases}4f & \text{\sffamily; f"ur alle $h$, $k$, $l$ gerade oder alle ungerade} \\0 & \text{\sffamily; sonst}\end{cases}\end{align*}$

Damit sind beim fcc-Gitter die Reflexe (111), (200), (220), (202), (222), (311), (331), (313), (333), … erlaubt und die anderen $(hkl)$ -Kombination sind verboten (d.h. diese Reflexe liefern keine Intensität).