In der folgenden Betrachtung soll gezeigt werden, dass die Unschärferelation für ein Elektron auf einer Kreisbahn im Wasserstoff-Atom in der Form $\Delta L \cdot \Delta \theta \geq \hslash$ ausgedrückt werden kann, wenn $L$ den Drehimpuls und $\theta$ den Winkel bezeichnen.
Bekannt ist die Unschärferelation
$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \hslash $$
Für den Impuls gilt
$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \Rightarrow L = rp $$
Da $r$ konstant ist, folgt damit mit einer Impulsunschärfe $\Delta p$:
$$ \Delta L = r \Delta p \Rightarrow \Delta p = \frac{\Delta L}{r} $$
Bei der Bewegung auf einer Kreisbahn ist das Wegstück $x$, bei konstantem Radius $r$ und gegebenen Winkel $\theta$ (in Bogenmaß) bestimmt über $x = r\theta$, für eine Unbestimmtheit $\Delta x$ folgt damit $\Delta x = r\Delta\theta$. Einsetzen in die Unschärferelation liefert:
$$ \Delta x \cdot \Delta p = r\Delta\theta \cdot \frac{\Delta L}{r} = \Delta L \cdot \Delta\theta \geq \hslash $$
Ist die Unschärfe des Drehimpulses $\Delta L \leq \frac{\hslash}{2\pi}$, so ist der Winkel $\theta$ vollkommen unbestimmt, da mit $\epsilon \geq 0$ folgt:
$$ \Delta L \cdot \Delta\theta \geq \hslash \Rightarrow \left(\frac{\hslash}{2\pi} - \epsilon\right) \cdot \Delta\theta \geq\hslash \xrightarrow{\epsilon \to 0} \Delta\theta \geq 2\pi $$
Ist $\Delta\theta \geq 2\pi$, so ist keine Unterscheidung mehr möglich, um welchen Periodenteil es sich handelt.
Die minimale Unschärfe beträgt $\Delta\theta \cdot \Delta L = \hslash$ und es folgt $\Delta L = \frac{\hslash}{\Delta\theta} \leq \frac{\hslash}{2\pi}$. Der Drehimpuls des Elektrons auf “erlaubten” Bahnen beträgt $L = n\hslash$. Der Vergleich liefert:
$$ \frac{\Delta L}{L} = \frac{\hslash}{2\pi} \frac{1}{n\hslash} = \frac{1}{2 \pi n} $$