Wasserstoffatome im Magnetfeld: Zeeman- oder Paschen-Back-Effekt?

Befinden sich Wasserstoffatome in einem Magnetfeld, so spalten die Emissionslinien aufgrund des Zeeman-Effekts oder Paschen-Back-Effekts auf. Im Folgenden soll untersucht werden, ob die Aufspaltung der $H_\alpha$ -Linie ( $n = 2 \leftarrow n = 3$ ) bei Wasserstoffatomen, die sich in einem Magnetfeld von B = 4,734 T durch den anormalen Zeeman-Effekt oder Paschen-Back-Effekt verursacht wird.

Der Paschen-Back-Effekt beschreibt die Entkopplung von Spin- und Bahndrehimpulsen beim Anlegen eines starken Magnetfeldes B. Ein Spektrum mit anormalen Zeemann-Effekt $(s \neq 0$ , $\Delta E_{Z,a} = m_j g_j \mu_B B)$ geht somit in die Form eines Spektrums mit normalen Zeeman-Effekt über $(s = 0 \Rightarrow j = l \Rightarrow g_j = 1, \Delta E_{Z,n} = m_l \mu_B B)$ .

Um die Aufspaltung abzuschätzen, wird die Zeeman-Aufspaltung $\Delta E_Z$ von $3P_{1/2}$ im Magnetfeld B bestimmt. Mit $l=1$ , $j=\frac{1}{2}$ , $s=\frac{1}{2}$ und $m_j = \pm\frac{1}{2}$ erhält man

$g_j = 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} = \frac{2}{3} \Rightarrow m_j g_j = \pm \frac{1}{3}$

Dann ist

$\Delta[m_j g_j] = m_j g_j - m'_j g'_j = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$

und für die Energiedifferenz folgt mit B = 4,734 T:

$\Delta E_z = \Delta[m_j g_j] \mu_B B = \frac{2}{3} \mu_B B = 2,9 \cdot 10^{-23}\phe{J}$

Die Umrechnung in Wellenzahlendifferenzen $\Delta\tilde{\nu}$ erfolgt über den Zusammenhang:

$\Delta E = h\Delta\nu = h(\nu_2 - \nu_1) \stackrel{\substack{\text{\makebox[0pt]{$c=\lambda\nu$}}\\\downarrow}}{=} hc\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \stackrel{\substack{\text{\makebox[0pt]{$\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$}}\\\downarrow}}{=} hc\left(\tilde{\nu}_2 - \tilde{\nu}_1\right) = hc\Delta\tilde{\nu}$

und somit

$\Delta\tilde{\nu} = \frac{1}{hc}\Delta E = \boldsymbol{1,46\phe{cm^{-1}}}$

Da die Spin-Bahn-Aufspaltung zwischen den Termen $3{^2 P_{1/2}}$ und $3{^2 P_{3/2}}$ $0,108\phe{cm^{-1}}$ beträgt, wird bei einer Feldstärke von B = 4,734 T die Aufspaltung der Wasserstoff $H_\alpha$ -Linie $(n = 3 \to n = 2)$ durch den Paschen-Back-Effekt verursacht.