Befinden sich Wasserstoffatome in einem Magnetfeld, so spalten die Emissionslinien aufgrund des Zeeman-Effekts oder Paschen-Back-Effekts auf. Im Folgenden soll untersucht werden, ob die Aufspaltung der $H_\alpha$-Linie ($n = 2 \leftarrow n = 3$) bei Wasserstoffatomen, die sich in einem Magnetfeld von $B = 4,734\phe{T}$ durch den anormalen Zeeman-Effekt oder Paschen-Back-Effekt verursacht wird.
Der Paschen-Back-Effekt beschreibt die Entkopplung von Spin- und Bahndrehimpulsen beim Anlegen eines starken Magnetfeldes B. Ein Spektrum mit anormalen Zeemann-Effekt $(s \neq 0$, $\Delta E_{Z,a} = m_j g_j \mu_B B)$ geht somit in die Form eines Spektrums mit normalen Zeeman-Effekt über $(s = 0 \Rightarrow j = l \Rightarrow g_j = 1, \Delta E_{Z,n} = m_l \mu_B B)$.
Um die Aufspaltung abzuschätzen, wird die Zeeman-Aufspaltung $\Delta E_Z$ von $3P_{1/2}$ im Magnetfeld B bestimmt. Mit $l=1$, $j=\frac{1}{2}$, $s=\frac{1}{2}$ und $m_j = \pm\frac{1}{2}$ erhält man
$$ \begin{aligned} g_j & = 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow m_j g_j & = \pm \frac{1}{3} \end{aligned} $$
Dann ist
$$ \Delta[m_j g_j] = m_j g_j - m’_j g’_j = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$
und für die Energiedifferenz folgt mit $B = 4,734\phe{T}$:
$$ \Delta E_z = \Delta[m_j g_j] \mu_B B = \frac{2}{3} \mu_B B = 2,9 \cdot 10^{-23}\phe{J} $$
Die Umrechnung in Wellenzahlendifferenzen $\Delta\tilde{\nu}$ erfolgt über den Zusammenhang:
$$ \begin{aligned} \Delta E & = h\Delta\nu = h(\nu_2 - \nu_1) \stackrel{\substack{\text{$c=\lambda\nu$}\\ \downarrow}}{=} hc\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ & \stackrel{\substack{\text{$\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$}\\\downarrow}}{=} hc\left(\tilde{\nu}_2 - \tilde{\nu}_1\right) = hc\Delta\tilde{\nu} \end{aligned} $$
und somit
$$ \Delta\tilde{\nu} = \frac{1}{hc}\Delta E = \boldsymbol{1,46\phe{cm^{-1}}} $$
Da die Spin-Bahn-Aufspaltung zwischen den Termen $3{^2 P_{1/2}}$ und $3{^2 P_{3/2}}$ $0,108\phe{cm^{-1}}$ beträgt, wird bei einer Feldstärke von $B = 4,734\phe{T}$ die Aufspaltung der Wasserstoff $H_\alpha$-Linie $(n = 3 \to n = 2)$ durch den Paschen-Back-Effekt verursacht.