Für die Erzeugung eines räumlich lokalisierten Wellenpaketes können unendlich viele Wellen der Form $\exp{-i(\omega t - k x )}$ in einem Wellenzahl-Intervall zwischen $k_0 - \Delta k/2$ und $k_0 + \Delta k/2$ überlagert werden. Um ein zeitlich konzentriertes Wellenpaket zu erhalten, kann diese Überlagerung auch für Wellen in einem Frequenz-Intervall zwischen $\omega_0 - \Delta\omega/2$ und $ω_0 + \Delta\omega/2$ durchgeführt werden und das Wellenpaket in der Form
$$ \psi(x,t) = C(\omega_0)\int_{\omega_0 - \Delta\omega/2}^{\omega_0 + \Delta\omega/2} \exp\left\{-i(\omega t - kx)\right\}\differential{\omega} $$
dargestellt werden.
In der folgenden Betrachtung soll das Integral unter Verwendung einer Taylor-Entwicklung für $k(\omega)$ in der Umgebung von $ω_0$ gelöst werden. Weiterhin wird gezeigt, dass die zeitliche Ausdehung des Wellenpaketes gegeben ist durch $\Delta t = 4\pi/\Delta\omega$ und dass daraus die Unschärefelation $\Delta E \cdot \Delta t = 2h$ folgt.
Taylorentwicklung für $k(\omega)$ um $\omega_0$ liefert:
$$ k(\omega) = k_0 + \left(\derivative{k}{\omega}\right)_{\omega_0}(\omega - \omega_0) + \dots $$
Substituiert man nun $f = \omega - \omega_0 \Rightarrow \differential{\omega} = \differential{f}$ und führt die Abkürzung $u = t - x\left(\derivative{k}{\omega}\right)_{\omega_0}$ ein, so folgt für die oben angegebene Wellenfunktion:
$$ \begin{align} \psi(x,t) & = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] \int_{-\Delta\omega/2}^{\Delta\omega/2} \exp(iuf)\differential{f} \\ & = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] \left.\frac{1}{iu}\exp(iuf)\right|_{f=-\Delta\omega/2}^{\Delta\omega/2} \\ & = C(\omega_0) \exp\left[i(\omega t - xk_0)\right] \frac{1}{iu}\left[\exp\left(iu\frac{\Delta\omega}{2}\right)-\exp\left(-iu\frac{\Delta\omega}{2}\right)\right] \end{align} $$
Mit der Beziehung (für $z \in \mathbb{C}$)
$$ \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} $$
erhält man
$$ \begin{align} \psi(x,t) & = \underbrace{C(\omega_0) \frac{2\sin\left(u\frac{\Delta\omega}{2}\right)}{u}}_{\text{Amplitude}} \cdot \underbrace{\exp\left[i(\omega_0 t - xk_0)\right]}_{\text{Oszillator}} \end{align} $$
Die Amplitude wird für $t_m - \left(\derivative{k}{\omega}\right)_{\omega_0} \cdot x_m = 0$ maximal und damit $x_m = t_m \left(\derivative{k}{\omega}\right)_{\omega_0}^{-1}$. Die Nullstellen von $\sin\left(\left[t_{1,2} - \left(\derivative{k}{\omega}\right)_{\omega_0} x_m\right] \frac{\Delta\omega}{2}\right]$ liegen bei $\left(t_{1,2} - \left(\derivative{k}{\omega}\right)_{\omega_0} x_m\right) \frac{\Delta\omega}{2} = \pi$.
Einsetzen von $x_m$ und Verwendung von $\frac{\Delta t}{2} = t_{1,2} - t_m$ liefert für die zeitliche Ausdehnung des Wellenpaketes:
$$ \left(t_{1,2} - t_m\right) \frac{\Delta\omega}{2} = \pi \Rightarrow \frac{\Delta t}{2} = \frac{2\pi}{\Delta\omega} \Rightarrow \Delta t = \frac{4\pi}{\Delta\omega} $$
Für die Energie gilt $\Delta E = hf = \hslash \Delta\omega$ und es folgt die Unschärferelation:
$$ \Delta E \cdot \Delta t = \hslash \Delta\omega \cdot \frac{4\pi}{\Delta\omega} = 4\pi\hslash = 2h $$