Wasserstoffatome lassen sich durch Strahlungsabsorption von Laserlicht in hoch angeregte Zustände (sog. Rydberg-Zustände mit n » 1) versetzen. Die erforderlichen Wellenlängen liegen jedoch im tiefen UV und Strahlung mit ausreichender Intensität lässt sich nur sehr schwierig erzeugen. Mann kann diesen Prozess jedoch in zwei Stufen ablaufen lassen:
Ein Laser bewirkt die Anregung von n = 1 nach z. B. n = 3 durch eine sogenannte Zweiphotonen-Absorption, d. h. das Atom absorbiert zwei Photonen gleichzeitig, wobei die Photonenenergie nur die Hälfte des Energieabstandes betragen muss. Dieser Prozess ist zwar sehr unwahrscheinlich, jedoch kann Laserstahlung in dem erforderlichen Wellenlängenbereich mit sehr hoher Intensität erzeugt werden. In dem zweiten Schritt wird zeitgleich Laserstahlung mit einer zweiten Wellenlänge eingestrahlt, die die Anregung von n = 3 in den Rydberg-Zustand übernimmt.
Anregung in den Rydberg-Zustand n = 40
Nachfolgend sollen die benötigten Wellenlängen der beiden Laser bestimmt werden für die Anregung von Wasserstoffatomen in den Rydberg-Zustand n = 40.
- erster Laser (Anregung von n = 1 nach n = 3 mittels Zweiphotonen-Absorption):
Mit der Balmer-Formel gilt für die Frequenz ($R$ ist die Rydberg-Frequenz) $$ f = R \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) $$ und für die Energieänderung $$ \Delta E = hf = h R \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right). $$ Da bei der Zweiphotonen-Absorption nur die Hälfte des erforderlichen Energieabstandes benötigt wird, also $\Delta E \leadsto \frac{1}{2}\Delta E$ folgt mit $c = f\lambda$ für die benötigte Wellenlänge des ersten Lasers: $$ \begin{aligned} && \frac{\Delta E}{2} & = hf = \frac{hc}{\lambda} \\ \Rightarrow && \lambda & = \frac{2hc}{\Delta E} = \frac{2c}{R}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)^{-1} \end{aligned} $$ Mit $n=1$, $m=3$ und den entsprechenden Werten für die Konstanten erhält man für die Wellenlänge: $$ \lambda \simeq \boldsymbol{205\,\mathsf{nm}} $$ - zweiter Laser (Anregung von n = 3 nach n = 40):
Da hier keine Zweiphotonen-Absorption erfolgt, entfällt aus der Gleichung in a) der Faktor 2 und die benötigte Wellenlänge beträgt $$ \lambda(3 \mapsto 40) = \frac{2c}{R}\left(\frac{1}{3^2} - \frac{1}{40^2}\right)^{-1} \simeq \boldsymbol{824,78\,\mathsf{nm}} $$ Damit der Laser weder n = 39 noch n = 41 anregt, muß die spektrale Bandbreite $\Delta\lambda$ (volle Halbwertsbreite) so gewählt werden, daß die benachbarten Rydberg-Zustände nicht erreicht werden. $$ \begin{gather} \lambda(3 \mapsto 39) \simeq 825,02\,\mathsf{nm} \\ \lambda(3 \mapsto 41) \simeq 824,55\,\mathsf{nm} \\ \Delta\lambda = \min\left\{ \left|\lambda(3 \mapsto 40) - \lambda(3 \mapsto 39)\right|\,,\, \left|\lambda(3 \mapsto 40) - \lambda(3 \mapsto 41)\right| \right\} \simeq\boldsymbol{0,23\,\mathsf{nm}} \end{gather} $$
Durchmesser der Elektronenbahn und Umlauffrequenz des Elektrons
Der Radius der Elektronenbahn im dem o. b. Rydberg-Zustand (n = 40) lässt sich bestimmen über
$$ \begin{aligned} r & = \frac{h^2 \epsilon_0 n^2}{\pi m_e e^2} \\ & \simeq n^2 \cdot 5,29177 \cdot 10^{-11}\,\mathsf{nm} \\ & \simeq 8,5 \cdot 10^{-8}\,\mathsf{nm} \\ & \simeq\boldsymbol{85\,\mathsf{nm}} \end{aligned} $$
und die Umlauffrequenz $f$ des Elektrons im klassischen Bohr’schen Atommodels über
$$ \begin{aligned} f & = \frac{e^4 m_e}{4 n^3 \epsilon_0^2 h^3} \\ & \simeq\frac{6,57968 \cdot 10^{15}}{n^3}\,\mathsf{Hz} \\ & \simeq 5984\,\mathsf{Hz} \\ & \simeq \boldsymbol{6\,\mathsf{kHz}} \end{aligned} $$