Aus der Kraftgleichung für Fluidelemente soll nachfolgend die Bernoulli-Gleichung für nicht-kompressible Flüssigkeiten im stationären Zustand entwickelt werden.
Die Kraftgleichung für ein Fluidelement ist im stoßfreien Fall gegeben durch
$$ mn\left[\partialderivative{\vec{u}}{t} + \left(\vec{u} \cdot \nabla\right)\vec{u}\right] = qn\left(\vec{E} + \vec{u} \times \vec{B}\right) - \nabla p $$
mit der Masse $m$ eines Fluidelements, der Teilchendichte $n$ und der Geschwindigkeit $\vec{u}$ der Fluidelemente, dem Druck $p$ und den elektrischen $\vec{E}$ und magnetischem $\vec{B}$ Feldern, $q$ bezeichnet die Ladung.
Im stationären Zustand bleibt die Geschwindigkeit konstant, d. h. es gilt $\partialderivative{\vec{u}}{t} = 0$. Da eine nicht-kompressible Flüssigkeit betrachtet werden soll, bedeutet dies, das die Flüssigkeit feldfrei ist, also $\vec{E} = 0$ und $\vec{B} = 0$. Damit folgt für die Kraftgleichung:
$$ \begin{aligned} && mn\left[\partialderivative{\vec{u}}{t} + \left(\vec{u} \cdot \nabla\right)\vec{u}\right] & = qn\left(\vec{E} + \vec{u} \times \vec{B}\right) - \nabla p \\ \Rightarrow & & mn\left(\vec{u} \cdot \nabla\right) \vec{u} & = -\nabla p \end{aligned} $$
Betrachte die $i$-te Komponente:
$$ \begin{aligned} && mn\left(u_i \cdot \partialderivative{}{x_i}\right) u_i & = -\partialderivative{p}{x_i} \\ & \Leftrightarrow & mnu_i\partialderivative{u_i}{x_i} & = -\partialderivative{p}{x_i} \\ & \Leftrightarrow & mnu_i\partialderivative{u_i} & = -\partialderivative{p} \end{aligned} $$
Integration liefert
$$ \begin{aligned} && \int mn u_i \partialderivative{u_i} & = - \int \partialderivative{p}\\ & \Leftrightarrow & \frac{1}{2}mnu_i^2 & = -p + C \end{aligned} $$
mit der Integrationskonstanten $C$. Anwenden auf alle Komponenten liefert
$$ \frac{1}{2} mn\sum_{i=1}^{3} u_i^2 = -p + C $$
und somit die Bernoulli-Gleichung
$$ \frac{1}{2} mnu^2 + p = C = \text{const} $$
Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der Vektoridentität:
$$ \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B}) = \nabla(\vec{A} \cdot \vec{B}) - (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} - (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} - \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A}) $$
Mit $\vec{A},\vec{B} \equiv \vec{u}$ folgt:
$$ 2 (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = \nabla(\vec{u} \cdot \vec{u}) = \nabla u^2 $$
Einsetzen in $mn\left(\vec{u} \cdot \nabla\right) \vec{u} = -\nabla p$ liefert:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} mn \nabla u^2 = -\nabla p & \quad\Rightarrow\quad \nabla\left(\frac{1}{2} m n u^2 + p\right) = 0 \\ & \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} m n u^2 + p = \text{const.} \end{aligned} $$