In der folgenden Betrachtung soll für Indiumantimonid (InSb) die Ionisierungsenergie der Donatoren, der Bahnradius für den Grundzustand sowie die Donatorkonzentration, bei der deutliche Überlappungseffekte zwischen den Orbitalen benachbarter Dotieratome auftreten, bestimmt werden.
In Indiumantimonid beträgt die Bandlücke \(E_g = 0.23\,\mathsf{eV}\), die Dielektrizitätszahl \(\epsilon=18\) und die effektive Elektronenmasse \(m_e^* = 0.015\,m_e\). Die Bestimmung der Ionisierungsenergie der Donatoren wird unter der Annahme durchgeführt, dass sich die Donatoratome wasserstoffartig verhalten.
1. Ionisierungsenergie der Donatoren
Für die Bindungsenergie eines Wasserstoffatoms gilt
[
E_n = \frac{\mu e^4}{32 \pi^2 \hslash^2 \epsilon_0^2} \frac{1}{n^2}
]
mit der reduzierten Masse $\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_k}$. Im Grundzustand ist $n=1$. Verwendung der effektiven Elektronenmasse $m_e^*=0,015\,m_e$ führt auf die Ersetzung $\mu \leadsto \mu^* \simeq m_e^*$ (da $m_e^* \ll m_e$ und somit $m_e^* \ll m_p \Rightarrow \mu^* \simeq m_e^*$) und die Dielektrizitätszahl auf die Ersetzung $\epsilon_0 \leadsto \epsilon \epsilon_0$. Damit folgt
[
\tilde{E}_1
= \frac{m_e^* e^4}{32 \pi^2 \hslash^2 \epsilon_0^2 \epsilon^2}
= \frac{m_e^*}{\mu}\frac{1}{\epsilon^2} E_1
]
Mit der Ionisationsenergie von Wasserstoff $E_1 = 13.6\,\mathsf{eV}$, $m_e^* = 0.015m_e$ und $\epsilon = 18$ erhält man für die Ionisationsenergie der Donatoren:
[
\boldsymbol{\tilde{E}_1 \simeq 0.63\,\mathsf{meV}}.
]
2. Bahnradius für den Grundzustand
Der Bohrradius $a_0$ für das Wasserstoffatom ist bekannt und läßt sich über die Beziehung
[
a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hslash^2}{m_e e^2}
]
bestimmen ($\Rightarrow a_0 = 0.529\,\mathsf{\overset{\lower.5em\circ}{\mathrm{A}}}$). Mit den Ersetzungen aus Abschnitt 1 folgt dann für den Bahnradius der Donatoren im Grundzustand
[
\tilde{a}_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\epsilon\hslash^2}{m_e^* e^2}
= a_0 \frac{\epsilon m_e}{m_e^*}
\simeq \boldsymbol{634.8\,\mathsf{\overset{\lower.5em\circ}{\mathrm{A}}}}
]
3. Donatorkonzentration mit deutlichen Überlappungseffekten
Deutliche Überlappungseffekte zwischen den Orbitalen benachbarter Dotieratome, die zur Bildung eines Störstellenbandes führen können, treten bei einem Abstand der doppelten Gitterkonstante $a$ auf, wenn eine kubischen Anordnung der Donatoratome angenommen wird. Als Gitterkonstante kann der in Abschnitt 2. bestimmte Bohrradius $\tilde{a}_0$ verwendet werden. Damit muss für die Dichte der Donatoratome gelten:
[
n \geq \frac{1}{\left(2\tilde{a}_0\right)^3} \simeq \boldsymbol{4.89 \cdot 10^{20} \,\mathsf{m^{-3}} = 4.89 \cdot 10^{14}\,\mathsf{cm^{-3}}}
]