In dieser kurzen Betrachtung soll der Energieeigenwert aus der Schrödingergleichung des Grundzustandes des Wasserstoffatoms (1s-Zustand) ermittelt werden. Weiterhin wird die Wahrscheinlichkeit bestimmt, das Elektron innerhalb einer Kugel mit Radius ρ um den Kern zu finden.
Ermittlung des Energieeigenwerts
Die 1s Wellenfunktion im Wasserstoffatom ist gegeben über
$$ \psi = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} \exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\} $$
und die Schrödingergleichung
$$ -\frac{\hslash^2}{2m}\boldsymbol{\Delta}\psi + V(r)\psi = E\psi $$
Für die potentielle Energie des Elektrons im Feld des Kerns gilt
$$ V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r} $$
Da das Potential nur vom Radius abhängt und nicht von den Winkel vereinfacht sich der Laplace-Operator zu
$$ \boldsymbol{\Delta} = \frac{1}{r^2}\left[\partialderivative{ }{r} \left(r^2\partialderivative{ }{r}+\ldots\right)\right] $$
Anwenden des Laplace-Operators auf den von $r$ abhängigen Teil der Wellenfunktion $\psi$, also auf den Term $\exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\}$, liefert:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{r^2}\partialderivative{ }{r}\left(r^2\partialderivative{ }{r}\exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\}\right) & = \frac{1}{r^2} \left(-\frac{1}{a_0}\partialderivative{ }{r} \left(r^2 \exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\}\right)\right) \\ & = \frac{1}{r^2} \left(-\frac{1}{a_0}\left(-\frac{r^2}{a_0} + 2r\right)\exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\}\right) \\ & = \left(\frac{1}{a_0^2} - \frac{2}{a_0 r}\right) \exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\} \end{aligned} $$
Der nicht von $r$ abhängige Teil kann vor den Operator gezogen werden (Konstanten) und man erhält für die Anwendung des Laplace-Operators auf die Wellenfunktion $\psi $:
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\Delta}\psi & = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} \left(\frac{1}{a_0^2} - \frac{2}{a_0 r}\right) \exp\left\{-\frac{r}{a_0}\right\} \\ & = \left(\frac{1}{a_0^2} - \frac{2}{a_0 r}\right)\psi \end{aligned} $$
Einsetzen in die Schrödingergleichung liefert:
$$ -\frac{h^2}{2m}\left(\frac{1}{a_0^2} - \frac{2}{a_0 r}\right)\psi - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}\psi = E\psi $$
und für die Energie erhält man:
$$ E = -\left[\frac{\hslash^2}{2ma_0^2} - \frac{\hslash^2}{m a_0 r} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right] $$
Mit $a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0\hslash^2}{m_e e^2}$ und $m = m_e$ erhält man:
$$ \begin{aligned} E & = -\bigg[\frac{\hslash^2}{2m} \left(\frac{m_e e^2}{4\pi\epsilon_0 \hslash^2}\right)^2 \underbrace{ - \frac{\hslash^2}{m r} \frac{m_e e^2}{4\pi\epsilon_0 \hslash^2} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} }_{=0}\bigg] \\ & \simeq -2,20 \cdot 10^{-18}\phe{J} \simeq \boldsymbol{-13,7\phe{eV}} \end{aligned} $$
Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer Kugel mit Radius ρ zu finden
Das differenzielle Volumenelement in Kugelkoordinaten ist
$$ \differential{V} = r^2 \sin\theta \differential{r}\differential{\theta}\differential{\varphi} $$
Für die Wahrscheinlichkeit P erhält man
$$ \begin{aligned} P & = \int_{V(\rho)} \psi^* \psi \differential{V} \\ & = 4\pi\int_{0}^{\rho} \abs{\psi}^2 r^2\differential{r} \\ & = 4\pi\int_{0}^{\rho} \frac{1}{\pi a_0^3} r^2 \exp\left\{-\frac{2r}{a_0}\right\}\differential{r} \end{aligned} $$
Das Integral kann durch zweifache partielle Integration gelöst werden, wobei zunächst nach $r^2$ abgeleitet und nach $\exp\left\{-\frac{2r}{a_0}\right\}$ integriert wird:
$$ \begin{aligned} P & = \frac{4}{a_0^3} \left\{ \left.r^2\left(-\frac{a_0}{2}\right) \exp\left\{-\frac{2r}{a_0}\right\}\right|_{r=0}^{\rho} - \int_{0}^{\rho} 2r\left(-\frac{a_0}{2}\right) \exp\left\{-\frac{2r}{a_0}\right\}\differential{r} \right\} \\ & = \frac{4}{a_0^3} \left\{-\frac{a_0}{2}\rho^2 \exp\left\{-\frac{2\rho}{a_0}\right\} + a_0\int_{0}^{\rho} r \exp\left\{-\frac{2r}{a_0}\right\}\differential{r} \right\} \end{aligned} $$
Bei der zweiten partiellen Integration wird nach r abgeleitet und $\exp\left\{-\frac{2r}{a_0}\right\}$ integriert:
$$ P = \frac{4}{a_0^3} \left\{ - \frac{a_0}{2}\rho^2 \exp\left\{-\frac{2\rho}{a_0}\right\} - \frac{a_0^2}{2} \rho \exp\left\{-\frac{2\rho}{a_0}\right\} - \frac{a_0^3}{4} \exp\left\{-\frac{2\rho}{a_0}\right\} + \frac{a_0^3}{4} \right\} $$
und man erhält für die Wahrscheinlichkeit P, das Elektron in einer Kugel mit Radius ρ zu finden:
$$ P = 1 - \left[ \frac{2\rho^2}{a_0^2} + \frac{2\rho}{a_0} + 1 \right] \exp\left\{-\frac{2\rho}{a_0}\right\} $$