Im Modell unabhängiger Teilchen erfolgt die Beschreibung jedes Elektrons durch eine Bahn-Wellenfunktion $\psi_{n,l,m}$. Die zugehörige räumliche Ladungsdichteverteilung ist durch $\varrho(r,\vartheta,\varphi) = e\left|\psi_{n,l,m}\right|^2$ gegeben. In dieser kurzen Betrachtung soll am Beispiel der L-Schale (n = 2) gezeigt werden, dass bei voller Besetzung der Elektronenschale, d. h. eine Besetzung mit 2n2 Elektronen, die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung kugelsymmetrisch ist.
Die Bahn-Wellenfunktionen $\psi_{n,l,m}$ für die L-Schale sind in der nachfolgenden Tabelle wiedergegeben:
| n | l | m | $\boldsymbol{\psi_{n,l,m}(r,\vartheta,\varphi)}$ |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 0 | $\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\left(2 - \frac{Z r}{a_0}\right) \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\}$ |
| 2 | 1 | 0 | $\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\frac{Z r}{a_0} \exp\left\{-\frac{Z r}{2a_0}\right\} \cos\vartheta$ |
| 2 | 1 | ±1 | $\frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} \frac{Zr}{a_0} \exp\left\{-\frac{Zr}{2a_0}\right\} \sin\vartheta \exp\left\{\pm i\varphi\right\}$ |
Zu zeigen ist, das die gesamte zeitlich gemittelte Ladungsdichteverteilung $\varrho$ kugelsymmetrisch ist, d. h. $\varrho$ darf somit keine winkelabhängigen Anteile enthalten und nur noch vom radialen Abstand abhängen ($\varrho = \varrho(r)$). Da über alle zugelassenen Werte von $l$ und $m$ summiert werden muß, ist die räumliche Ladungsdichteverteilung gegeben über:
$$ \varrho(r,\vartheta,\varphi) = e\left[\abs{\psi_{2,0,0}}^2 + \abs{\psi_{2,1,0}}^2 + \abs{\psi_{2,1,-1}}^2 + \abs{\psi_{2,1,+1}}^2\right] $$
Zunächst werden die einzelnen Betragsquadrate bestimmt:
$$ \begin{aligned} \abs{\psi_{2,0,0}}^2 & = \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \\ \abs{\psi_{2,1,0}}^2 & = \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\cos^2\vartheta \\ \abs{\psi_{2,1,-1}}^2 & = \frac{1}{64\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\sin^2\vartheta \;\underbrace{\exp\left\{-i\varphi\right\} \exp\left\{+i\varphi\right\}}_{=1} \\ \end{aligned} $$
$$ \abs{\psi_{2,1,+1}}^2 = \frac{1}{64\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\}\sin^2\vartheta \;\underbrace{\exp\left\{+i\varphi\right\} \exp\left\{-i\varphi\right\}}_{=1} $$
$\abs{\psi_{2,1,-1}}^2$ und $\abs{\psi_{2,1,+1}}^2$ sind identisch und es folgt für die Ladungsdichteverteilung:
$$ \begin{aligned} \varrho(r,\vartheta,\varphi) & = e\left[\abs{\psi_{2,0,0}}^2 + \abs{\psi_{2,1,0}}^2 + 2\abs{\psi_{2,1,\pm1}}^2\right] \\ & = e\Big[\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3} \left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)^2 \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} + \frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\frac{Z^2 r^2}{a_0^2} \exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \underbrace{\left(\cos^2\vartheta + \sin^2\vartheta\right)}_{=1} \Big] \\ & = e\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \left[\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)^2 \frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right] \\ & = e\frac{1}{32\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \left[2\left(2-2\frac{Zr}{a_0}+\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right)\right] \\ & = e\frac{1}{16\pi}\frac{Z^3}{a_0^3}\exp\left\{-\frac{Zr}{a_0}\right\} \left[2-2\frac{Zr}{a_0}+\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right] \end{aligned} $$
Die so erhaltene Ladungsdichteverteilung enthält nur noch den radialen Anteil, die winkelabhängigen Anteile sind herausgefallen.