Im Spektrum von ionisiertem Helium (Z = 2e) findet man eine Serie von Spektrallinien, bei der jede zweite Linie nahezu exakt mit einer Balmer-Linie des atomaren Wasserstoffs zusammenfällt, während die anderen dazwischen liegen.
Diese Serie kommt zustande, indem das angeregte Elektron von einer Schale $m \geq 5$ auf die 4. Schale zurückfällt. Mit der Gleichung
$$ \nu = R Z^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) $$
können die entsprechenden Frequenzen bzw. über $\lambda = \frac{c_0}{\nu}$ die Wellenlängen bestimmt werden.
Das diese Linien nicht exakt zusammenfallen liegt darin begründet, weil die Rydberg-Frequenz $R$ bzw. Rydberg-Konstante $R_\infty$ nicht berücksichtigt, dass bei endlicher Masse des Atomkerns eine gemeinsame Bewegung von Kern und Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt vollzogen wird. Die Korrektur hierfür läßt sich über die Beziehung
$$ R’ = R_\infty \frac{\mu}{m_e} $$
ausdrücken, wobei $\mu$ die reduzierte Masse $\mu = \frac{m_K m_e}{m_K + m_e}$ bezeichnet. Für Wasserstoff und Helium erhält man:
$$ \begin{aligned} R_H & = R_\infty \frac{\mu}{m_e} & = R_\infty \frac{m_P}{m_e + m_P} \\ && = R_\infty \cdot 0,99946 \\ && = 109678\phe{cm^{-1}} \\ R_{He^+} & = R_\infty \frac{\mu}{m_e} & = R_\infty \frac{4 m_p}{m_e + 4 m_P} \\ && = R_\infty \cdot 0,99986 \\ && = 109722\phe{cm^{-1}} \end{aligned} $$
wobei $m_P \simeq m_N$, $m_e = 9,109 \cdot 10^{-31}\phe{kg}$, $m_P = 1,673 \cdot 10^{-27}\phe{kg}$ und $R_\infty = 109737\phe{cm^{-1}}$ verwendet wurde.
Für die Wellenlängendifferenz zwischen der $H_\alpha$-Linie ($n = 3 \rightarrow n’ = 2$) des atomaren Wasserstoffs und der am nächsten liegenden $\mathrm{He}^+$-Linie erhält man somit
$$ \begin{aligned} \tilde{\nu}_{H_\alpha} & = 109678\phe{cm^{-1}} \cdot \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 15232,9\phe{cm^{-1}} \\ & \Rightarrow \nu_{H_\alpha} = 656,47\phe{nm}\\ \tilde{\nu}_{He^+} & = 109722\phe{cm^{-1}} \cdot \left(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2}\right) = 15239,2\phe{cm^{-1}} \\ & \Rightarrow \nu_{He^+} = 656,20\phe{nm}\\ \Rightarrow \Delta\nu & = \nu_{He^+} - \nu_{H} = \boldsymbol{0,27\phe{nm}} \end{aligned} $$