In dieser kurzen Betrachtung soll der Strukturfaktor für das fcc-Gitter berechnet werden.
Die Basisvektoren für das fcc-Gitter sind gegeben über
$$ \vec{r}_1 = \left(0,0,0\right)\quad,\quad \vec{r}_2 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\quad,\quad \vec{r}_3 = \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad\text{und}\quad \vec{r}_4 = \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) $$
die über
$$ r_i = u_{i} \vec{a}_{1} + v_{i} \vec{a}_{2} + w_{i} \vec{a}_{3} $$
mit den primitiven Gittervektoren zusammenhängen. Der Strukturfaktor S lässt sich über die Beziehung
$$ S = \sum_{i} f_i \exp\left\{i\vec{G}\cdot\vec{r}_i\right\} $$
bestimmen, wobei $f_i$ den Atomformfaktor und $\vec{G}$ den reziproken Gittervektor bezeichnet. Für den reziproken Gittervektor gilt
$$ \vec{G} = h\vec{A}_1 + k\vec{A}_2 + l\vec{A}_3 $$
mit den Millerschen Indizes $(hkl)$. Für die Beziehung zwischen den primitiven und reziproken Gittervektoren gilt $\vec{A}_i \cdot \vec{a}_i = 2\pi$. Enthält das fcc-Gitter nur eine Atomsorte, so ist der Atomformfaktor identisch ($\forall i: f_i \equiv f$) und man erhält für den Strukturfaktor:
$$ \begin{align} S & = f \Bigg[\exp\left\{i\left(h\vec{A}_1 \cdot 0 \vec{a}_1 + k\vec{A}_2 \cdot 0 \vec{a}_2 + l\vec{A}_3 \cdot 0 \vec{a}_3\right)\right\} \\ & \qquad +\exp\left\{i\left(h\vec{A}_1 \cdot \frac{\vec{a}_1}{2} + k\vec{A}_2 \cdot \frac{\vec{a}_2}{2} + l\vec{A}_3 \cdot 0 \vec{a}_3\right)\right\}\\ & \qquad +\exp\left\{i\left(h\vec{A}_1 \cdot 0 \vec{a}_1 + k\vec{A}_2 \cdot \frac{\vec{a}_2}{2} + l\vec{A}_3 \cdot \frac{\vec{a}_3}{2}\right)\right\} \\ & \qquad +\exp\left\{i\left(h\vec{A}_1 \cdot \frac{\vec{a}_1}{2} + k\vec{A}_2 \cdot 0 \vec{a}_2 + l\vec{A}_3 \cdot \frac{\vec{a}_3}{2}\right)\right\}\Bigg] \\ & = f \left[1 + \exp\left\{\pi i(h + k)\right\} + \exp\left\{\pi i(k + l)\right\} + \exp\left\{\pi i(h + l)\right\} \right] \\ & = \begin{cases} 4f & \text{; für alle $h$, $k$, $l$ gerade oder alle ungerade} \\ 0 & \text{; sonst} \end{cases} \end{align} $$
$$ \begin{align*} \end{align*} $$
Damit sind beim fcc-Gitter die Reflexe (111), (200), (220), (202), (222), (311), (331), (313), (333), … erlaubt und die anderen (hkl)-Kombination sind verboten (d.h. diese Reflexe liefern keine Intensität).