Die primitive Gittervektoren eines kubischen Kristalls lassen sich mit den kartesischen Einheitsvektoren $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$ ausdrücken als
$$ \vec{a}_1 = a\vec{e}_x\qquad,\qquad\vec{a}_2 = a\vec{e}_y\qquad\text{und}\qquad\vec{a}_3 = a\vec{e}_z $$
wobei a die Gitterkonstante bezeichnet.
Für die Gittervektoren im reziproken Raum gelten die Beziehungen
$$ \vec{A}_1 = 2\pi\frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot \left( \vec{a}_2 \times \vec{a}_3 \right)}, \quad \vec{A}_2 = 2\pi\frac{\vec{a}_3 \times \vec{a}_1}{\vec{a}_2 \cdot \left( \vec{a}_3 \times \vec{a}_1 \right)}, \quad \vec{A}_3 = 2\pi\frac{\vec{a}_1 \times \vec{a}_2}{\vec{a}_3 \cdot \left( \vec{a}_1 \times \vec{a}_2 \right)} $$
sowie für den reziproken Gittervektor
$$ \vec{G}_{(hkl)} = h\vec{A}_1 + k\vec{A}_2 + l\vec{A}_3 $$
mit den Millerschen Indizes $(hkl)$. Um den Winkel zwischen zwei Kristallebenen zu bestimmen wird der Normalenvektor $\hat{n}$ benötigt, der sich aus dem reziproken Gittervektor bestimmen lässt:
$$ \hat{n} = \frac{\vec{G}}{\left|\vec{G}\right|} $$
Der Winkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\hat{n}$ und $\hat{n}’$ lässt sich dann aus der Beziehung
$$ \cos\alpha = \hat{n} \cdot \hat{n}’ $$
ermitteln.
Als Beispiel sollen nachfolgend die Winkel zwischen der (111)-Ebene und den Ebenen (210), (202) und (301) bestimmt werden. Zunächst können die reziproken Gittervektoren sowie deren Beträge für die einzelnen Ebenen bestimmt werden zu:
$$ \begin{align} \vec{G}_{(111)} & = \frac{2\pi}{a}\left(\vec{e}_x + \vec{e}_y + \vec{e}_z\right) & \left|\vec{G}_{(111)}\right| & = \frac{2\pi}{a}\sqrt{3} \\ \vec{G}_{(210)} & = \frac{2\pi}{a}\left(2\vec{e}_x + \vec{e}_y\right) & \left|\vec{G}_{(210)}\right| & = \frac{2\pi}{a}\sqrt{5} \\ \vec{G}_{(202)} & = \frac{4\pi}{a}\left(\vec{e}_x + \vec{e}_z\right) & \left|\vec{G}_{(202)}\right| & = \frac{4\pi}{a}\sqrt{2} \\ \vec{G}_{(301)} & = \frac{2\pi}{a}\left(3\vec{e}_x + \vec{e}_z\right) & \left|\vec{G}_{(301)}\right| & = \frac{2\pi}{a}\sqrt{10} \end{align} $$
Mit den Normalenvektoren und der Winkelbeziehung zwischen diesen erhält man
$$ \begin{alignat}{3} \alpha_{111}^{210} & = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{5}}(\vec{e}_x + \vec{e}_y + \vec{e}_z) \cdot (2\vec{e}_x + \vec{e}_y)\right) && = \arccos\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right) && \simeq \boldsymbol{39,2^o}\\ \alpha_{111}^{202} & = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}(\vec{e}_x + \vec{e}_y + \vec{e}_z) \cdot (\vec{e}_x + \vec{e}_z)\right) && = \arccos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) && \simeq \boldsymbol{35,3^o}\\ \alpha_{111}^{301} & = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{10}}(\vec{e}_x + \vec{e}_y + \vec{e}_z) \cdot (3\vec{e}_x + \vec{e}_z)\right) && = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{10}}\right) && \simeq \boldsymbol{43,1^o} \end{alignat} $$